miércoles, 21 de noviembre de 2012

POLINOMIOS


En matemáticas, un polinomio (del griego, «poli»-muchos y «νόμος»-división, y del latín «binomius»)1 2 3 es una expresión constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enterospositivos. En términos más precisos, es una combinación lineal de productos de potencias enteras de una o de varias indeterminadas.
Es frecuente el término polinomial, como adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar como polinomios de algún parámetro, como por ejemplo: tiempo polinomial, etc.
Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función derivable; las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental y el álgebra hasta áreas como la física, química,economía y las ciencias sociales.
En áreas de las matemáticas aplicadas, los polinomios son utilizados para construir los anillos de polinomios, un concepto central en álgebra abstracta y geometría algebraica.

Polinomios de una variable

Para a0, …, an constantes en algún anillo A (en particular podemos tomar un cuerpo, como \mathbb{R} o \mathbb{C}, en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero y n \in \mathbb{N}, entonces un polinomio, P_{}^{}, de grado n en la variable x es un objeto de la forma
P(x)_{}^{} = a_n x^n + a_{n-1} x^{n - 1}+ \cdots + a_1 x^{1} + a_0 x^{0}, \qquad x\notin A
El polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como
P(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}.
Las constantes a0, …, an se llaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el coeficiente constante (o término independiente) y a an, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normalizado.

[editar]Polinomios de varias variables

Los polinomios de varias variables, a diferencia de los de una variable, tienen en total más de una variable. Por ejemplo los monomios:
5xy, 3xz^2, 4xy^2z, \dots
En detalle el último de ellos 4xy_{}^2z es un monomio de tres variables (ya que en él aparecen las tres letras x, y y z), el coeficiente es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1 de x, y y zrespectivamente.

OPERACIONES CON POLINOMIOS
Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio y luego se simplifican los monomios semejantes.
Ejemplo
Sean los polinomios: P(x) = (2x_{}^3+4x+1) y Q(x)_{}^{} = (5x^2+3) , entonces el producto es:
P(x)Q(x)_{}^{} = (2x_{}^3+4x+1)(5x^2+3) = (2x_{}^3+4x+1)(5x^2) + (2x^3+4x+1)(3)= (10x_{}^5 + 20x^3 + 5x^2) + (6x^3+12x+3)= 10x_{}^5 + 26x^3 + 5x^2 + 12x + 3
Para poder realizar eficazmente la operación se tiene que adquirir los datos necesarios de mayor a menor. Una fórmula analítica que expresa el producto de dos polinomios es la siguiente:
P(X)Q(X)_{}^{} =  \left( \sum_{i=0}^m a_i X^i \right) \left(\sum_{j=0}^n b_j X^j \right) =  \sum_{k=0}^{m+n} \left(\sum_{p=0}^k a_p b_{k-p} \right) X^k
Aplicando esta fórmula al ejemplo anterior se tiene:
P(x)Q(x)_{}^{} = (2x_{}^3+4x+1)(5x^2+3) = (1\cdot 3)x_{}^0 + (4 \cdot 3)x^1 + (1 \cdot 5)x^2 + (4\cdot 5+ 2\cdot 3)x^3 + (0)x^4 + (5\cdot 2)x^5 = 10x_{}^5 + 26x^3 + 5x^2 + 12x + 3
Puede comprobarse que para polinomios no nulos se satisface la siguiente relación entre el grado de los polinomios \scriptstyle P(X) y \scriptstyle Q(X) y el polinomio producto \scriptstyle P(X)Q(X):
(*)\mbox{gr}(P(X)Q(X)) = \mbox{gr}(P(X)) + \mbox{gr}(Q(X))\,
Puesto que el producto de cualquier polinomio por el polinomio nulo es el propio polinomio nulo, se define convencionalmente que \scriptstyle \mbox{gr}(0) = -\infty (junto con la operación \forall p: -\infty + p = -\infty) por lo que la expresión (*) puede extenderse también al caso de que alguno de los polinomios sea nulos.


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