ALGEBRA 8°: 2012

APLICACIONES

1. Pedro debía 60 bolívares y recibió 320. Expresar su estado económico.

S o l u c i ó n J u a n B e l t r á n:

Nota: cuando totalizamos dos cantidades con distinto signo, hallamos la diferencia entre las cantidades y el resultado lo expresamos con el signo de la cantidad de mayor valor absoluto.

Respuesta: el estado económico de Pedro es de + 260 bolívares.

2. Un hombre que tenía 1 170 sucres hizo una compra por valor de 1 515. Expresar su estado económico.

S o l u c i ó n J u a n B e l t r á n:

Nota: cuando totalizamos dos cantidades con distinto signo, hallamos la diferencia entre las cantidades y el resultado lo expresamos con el signo de la cantidad de mayor valor absoluto.

Respuesta: el estado económico del hombre es de - 345 sucres.

DIVISION EN ALGEBRA

División:

Ejemplo1: División de polinomio entre un monomio

Expresa como un polinomio en

Paso1: Dividimos cada termino del numerador entre

Paso2: Simplificamos.

MULTIPLICACION EN ALGEBRA

Multiplicación:o

Ejemplo 1. Multiplicación de monomio por monomio:

Multiplicamos las constantes o números y las variables

a. Método vertical

SUMA Y RESTA EN ALGEBRA

http://www.youtube.com/watch?v=nJ234FDIBrE

Operaciones con Polinomios:

Suma: Sumamos términos semejantes es decir sumamos aquellos términos cuyas variables y exponentes sean iguales. Los pasos para hacer las suma son:

Paso 1: Elimine los paréntesis

Paso 2. Agrupe términos semejantes

Paso 3. Sume y reste los términos semejantes.

Ejemplo: Halla la suma de:

Resta: Funciona igual que la suma solo hay que tener en cuenta que el signo negativo antes del los paréntesis cambia el signo de los términos dentro del paréntesis.

Ejemplo: Resta los siguientes polinomios:

Paso 1: Si un paréntesis tiene antepuesto o detrás un signo negativo, afecte los signos dentro del paréntesis cambiándolos por el opuesto y reemplaza el signo negativo que se encuentra antes del paréntesis por uno positivo.

Paso 2: Elimine los paréntesis. Para hacerlo solo escriba los términos que están dentro del los paréntesis con sus signos correspondientes e ignore el signo + que entre los dos paréntesis.

Paso 3: Agrupe los términos semejantes es decir los términos con iguales variables e iguales exponentes.

Paso 4: Sume y reste los términos semejantes.

Así que aplicando este concepto a la expresión entera tendríamos:

POLINOMIOS

En matemáticas, un polinomio (del griego, «poli»-muchos y «νόμος»-división, y del latín «binomius»)¹ ² ³ es una expresión constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enterospositivos. En términos más precisos, es una combinación lineal de productos de potencias enteras de una o de varias indeterminadas.

Es frecuente el término polinomial, como adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar como polinomios de algún parámetro, como por ejemplo: tiempo polinomial, etc.

Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función derivable; las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental y el álgebra hasta áreas como la física, química,economía y las ciencias sociales.

En áreas de las matemáticas aplicadas, los polinomios son utilizados para construir los anillos de polinomios, un concepto central en álgebra abstracta y geometría algebraica.

Polinomios de una variable

Para a₀, …, a_n constantes en algún anillo A (en particular podemos tomar un cuerpo, como $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ , en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con a_n distinto de cero y $n \in \mathbb{N}$ , entonces un polinomio, $P_{}^{}$ , de grado n en la variable x es un objeto de la forma

$P(x)_{}^{} =$ $a_n x^n + a_{n-1} x^{n - 1}+ \cdots + a_1 x^{1} + a_0 x^{0}, \qquad x\notin A$

El polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como

$P(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}.$

Las constantes a₀, …, a_n se llaman los coeficientes del polinomio. A a₀ se le llama el coeficiente constante (o término independiente) y a a_n, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normalizado.

[editar]Polinomios de varias variables

Los polinomios de varias variables, a diferencia de los de una variable, tienen en total más de una variable. Por ejemplo los monomios:

$5xy, 3xz^2, 4xy^2z, \dots$

En detalle el último de ellos $4xy_{}^2z$ es un monomio de tres variables (ya que en él aparecen las tres letras x, y y z), el coeficiente es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1 de x, y y zrespectivamente.

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio y luego se simplifican los monomios semejantes.

Ejemplo

Sean los polinomios: $P(x) = (2x_{}^3+4x+1)$ y $Q(x)_{}^{} = (5x^2+3)$ , entonces el producto es:

$P(x)Q(x)_{}^{} =$ $(2x_{}^3+4x+1)(5x^2+3) =$ $(2x_{}^3+4x+1)(5x^2) + (2x^3+4x+1)(3)=$ $(10x_{}^5 + 20x^3 + 5x^2) + (6x^3+12x+3)=$ $10x_{}^5 + 26x^3 + 5x^2 + 12x + 3$

Para poder realizar eficazmente la operación se tiene que adquirir los datos necesarios de mayor a menor. Una fórmula analítica que expresa el producto de dos polinomios es la siguiente:

$P(X)Q(X)_{}^{} =$ $\left( \sum_{i=0}^m a_i X^i \right) \left(\sum_{j=0}^n b_j X^j \right) =$ $\sum_{k=0}^{m+n} \left(\sum_{p=0}^k a_p b_{k-p} \right) X^k$

Aplicando esta fórmula al ejemplo anterior se tiene:

$P(x)Q(x)_{}^{} =$ $(2x_{}^3+4x+1)(5x^2+3) =$ $(1\cdot 3)x_{}^0 + (4 \cdot 3)x^1 + (1 \cdot 5)x^2 + (4\cdot 5+ 2\cdot 3)x^3 + (0)x^4 + (5\cdot 2)x^5 =$ $10x_{}^5 + 26x^3 + 5x^2 + 12x + 3$

Puede comprobarse que para polinomios no nulos se satisface la siguiente relación entre el grado de los polinomios $\scriptstyle P(X)$ y $\scriptstyle Q(X)$ y el polinomio producto $\scriptstyle P(X)Q(X)$ :

(*) $\mbox{gr}(P(X)Q(X)) = \mbox{gr}(P(X)) + \mbox{gr}(Q(X))\,$

Puesto que el producto de cualquier polinomio por el polinomio nulo es el propio polinomio nulo, se define convencionalmente que $\scriptstyle \mbox{gr}(0) = -\infty$ (junto con la operación $\forall p: -\infty + p = -\infty$ ) por lo que la expresión (*) puede extenderse también al caso de que alguno de los polinomios sea nulos.

miércoles, 21 de noviembre de 2012